Problem rozwiązałem inaczej (w zasadzie wszystkie problemy). Cofnąłem się do poprzedniej wersji Joomli z kopii zapasowej i zrobiłem jeszcze raz automatyczny update do 3.7, tylko tym razem wyłączyłem buforowanie wyjścia na serwerze (zauważyłem, że było włączone). Zakładam, że była to przyczyna bo 4 poprzednie próby kończyły się niepowodzeniem. Automatyczny update do 3.7 wyrzucał błąd archiwum, a update przez ftp kończył się wspomnianymi wyżej błędami.

Po wyłączeniu output buffering automatyczny update przebiegł bez problemu i wszystko działa poprawnie.